Модель для рекламы косметики (Рекламная кампания)

Описание

Геометрия на клетчатой бумаге





































СОДЕРЖАНИЕ
ВВЕДЕНИЕ 2
ГЛАВА 1. ЗАДАЧИ НА НАХОЖДЕНИЕ ГЕОМЕТРИЧЕСКИХ ВЕЛИЧИН (ДЛИН, УГЛОВ, ПЛОЩАДЕЙ) 5
1.Задачи на нахождение длин 5
2.Задачи на нахождение углов 9
3.Задачи на нахождение площадей 10
ГЛАВА 2. ФОРМУЛА ПИКА 13
ЗАКЛЮЧЕНИЕ 16
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ 17


















ВВЕДЕНИЕ

Обычный листок в клетку... Каждый из нас имел дело с ним с первых дней изучения математики, а может быть, и раньше. Клеточка как наглядный инструмент, помогает лучше изучить свойства геометрических фигур и открывает для нас достаточно оригинальные и интересные задачи. Это задачи на клетчатой бумаге.
Эти задачи отличаются от обычных задач из действующих учебников геометрии, и в то же время они не требуют дополнительных сведений, они направлены на обобщающее повторение основного курса геометрии 7 - 9 классов, на его более глубокое освоение и понимание, выработку необходимых компетенций.
Проанализировав школьные учебники математики, научно - популярную и занимательную литературу, интернет-ресурсы, я нашел разные задачи, которые решаются на клетчатой бумаге.
У меня возникли вопросы: в чём заключается особенность таких задач, существуют ли специальные методы и приёмы решения задач на клетчатой бумаге.
Чёткой классификации и структурирования задач на клетчатой бумаге по методам и способам решения я не встретил. Возможно, потому, что большинство таких задач считается , и для них нет общего правила решения, конкретных способов и приёмов. Вот это их свойство обуславливает их ценность для развития не конкретного учебного умения или навыка, а вообще умения думать, размышлять, анализировать, искать аналогии, то есть, эти задачи развивают мыслительные навыки в самом широком их понимании.
Объект исследования: задачи на клетчатой бумаге
Предмет исследования: многообразие задач на клетчатой бумаге, методы и приёмы их решения.
Методы исследования: изучение литературных и Интернет-ресурсов, анализ и классификация информации, обобщение.
Цель исследования - расширение знаний о многообразии задач на клетчатой бумаге, о приёмах и методах решения этих задач.
Задачи:
Подобрать необходимую литературу;
Отобрать материал для исследования, проанализировать и систематизировать полученную информацию;
Найти различные методы и приёмы решения задач на клетчатой бумаге;
Классифицировать исследуемые задачи;
Оформить работу в виде буклета;
Создать электронную презентацию работы для представления собранного материала одноклассникам.















ГЛАВА 1. ЗАДАЧИ НА НАХОЖДЕНИЕ ГЕОМЕТРИЧЕСКИХ ВЕЛИЧИН (ДЛИН, УГЛОВ, ПЛОЩАДЕЙ)
Среди многообразия задач на клетчатой бумаге я обратил свое внимание на те задачи, которые нашел в контрольно-измерительных материалах ОГЭ и ЕГЭ, так как на сегодняшний момент они актуальны для меня и моих одноклассников. Я попытался их классифицировать для себя и определил три группы:
1.Задачи на нахождение длин

Задача 1. На клет - ча - той бу - ма - ге с раз - ме - ром клет - ки 1x1 от - ме - че - ны точки A и B. Най - ди - те длину от - рез - ка AB.

Ре - ше - ние
Рас - сто - я - ние между точ - ка - ми A и B равно длине ги - по - те - ну - зы тре - уголь - ни - ка ABC, ка - те - ты ко - то - ро - го равны 15 и 8. По - это - му ис - ко - мая длина AB равна 17.
Задача 2. На клет - ча - той бу - ма - ге с раз - ме - ром клет - ки 1x1 изоб - ражён тре - уголь - ник ABC. Най - ди - те длину его вы - со - ты, опу - щен - ной на сто - ро - ну AB.

Ре - ше - ние.
Из точки С можно опу - стить пер - пен - ди - ку - ляр к пря - мой, со - дер - жа - щей сто - ро - ну АВ. Этот пер - пен - ди - ку - ляр будет яв - лять - ся вы - со - той тре - уголь - ни - ка АВС, его длина равна 3.
Задача 3. На клет - ча - той бу - ма - ге с раз - ме - ром клет - ки 1x1 изоб - ражён рав - но - бед - рен - ный пря - мо - уголь - ный тре - уголь - ник. Най - ди - те длину его ме - ди - а - ны, про - ведённой к ги - по - те - ну - зе.


Ре - ше - ние
Ме - ди - а - на, про - ведённая к ги - по - те - ну - зе, равна её по - ло - ви - не. По - это - му она равна 4,5.
Задача 4. На клет - ча - той бу - ма - ге с раз - ме - ром клет - ки 1x1 от - ме - че - ны точки A, B и C. Най - ди - те рас - сто - я - ние от точки A до пря - мой BC.


Ре - ше - ние
Рас - сто - я - ние от точки до пря - мой равно длине пер - пен - ди - ку - ля - ра, опу - щен - но - го из этой точки на дан - ную пря - мую. Тем самым, ис - ко - мое рас - сто - я - ние равно 4.
Задача 5. Най - ди - те бис - сек - три - су тре - уголь - ни - ка ABC, про - ве - ден - ную из вер - ши - ны B, если сто - ро - ны квад - рат - ных кле - ток равны 1.
.
Ре - ше - ние
По ри - сун - ку видно, что АВ=ВС, зна - чит, бис - сек - три - са, про - ве - ден - ная из вер - ши - ны В, также будет де - лить ос - но - ва - ние АС по - по - лам. По - стро - им от - ре - зок ВК. Видно, что он равен 4.
Задача 6. Най - ди - те ме - ди - а - ну тре - уголь - ни - ка АВС, про - ве - ден - ную из вер - ши - ны С, если сто - ро - ны квад - рат - ных кле - ток равны 1.


Ре - ше - ние
Ме - ди - а - на про - ве - ден - ная из вер - ши - ны С, будет де - лить ос - но - ва - ние АВ по - по - лам. По - стро - им от - ре - зок СК. Видно, что он равен 3.
Задача 7. На клет - ча - той бу - ма - ге с раз - ме - ром клет - ки 1x1 изоб - ражён тре - уголь - ник ABC. Най - ди - те длину его сред - ней линии, па - рал - лель - ной сто - ро - не AB.


Ре - ше - ние
Сред - няя линия тре - уголь - ни - ка равна по - ло - ви - не той сто - ро - ны, ко - то - рой она па - рал - лель - на. Длина сто - ро - ны АВ равна 4, по - это - му ис - ко - мая длина сред - ней линии равна 2.
Задача 8. Найдите периметр четырехугольника ABCD, если стороны квадратных клеток равны .



Задача 9. Найдите среднюю линию трапеции ABCD, если стороны квадратных клеток равны .


Задача 10. На клет - ча - той бу - ма - ге с раз - ме - ром клет - ки 1x1 изоб - ражён тре - уголь - ник. Най - ди - те ра - ди - ус опи - са - нной около него окруж - но - сти.


Ре - ше - ние
Изоб - ра - жен - ная на ри - сун - ке окруж - ность впи - са - на в квад - рат со сто - ро - ной 5, по - это - му ра - ди - ус этой окруж - но - сти равен 2,5.








2.Задачи на нахождение углов

Задача 11. Най - ди - те тан - генс угла .

Ре - ше - ние
Про - ве - дем вы - со - ту BK из точки B на сто - ро - ну OA. Тогда, при - ни - мая во вни - ма - ние, что BK = OK, по - лу - чим:

Задача 12. Най - ди - те тан - генс угла .

Ре - ше - ние.
До - стро - им угол до тре - уголь - ни - ка OBA, OB=BA. BK делит ос - но - ва - ние OA по - по - лам, зна - чит, - вы - со - та. Из ри - сун - ка на - хо - дим ОК=ВК =5.

Задача 13. На клет - ча - той бу - ма - ге с раз - ме - ром клет - ки изоб - ражён угол. Най - ди - те его гра - дус - ную ве - ли - чи - ну.


Ре - ше - ние
Изоб - ражённый на ри - сун - ке угол равен сумме пря - мо - го угла и угла 45°, по - это - му он равен 135°.
Задача 14. Найдите величину угла АВС. Ответ дайте в градусах.


3.Задачи на нахождение площадей

Задача 15. Найдите площадь трапеции, изображенной на клетчатой
бумаге с размером клетки 1 см x 1 см (см. рис.).
Ответ дайте в квадратных сантиметрах.

Я приведу три решения этой задачи.
I решение предполагает, что я хорошо знаю формулу площади трапеции.

ABCD - трапеция, т.е. четырёхугольник, у которого две противолежащие стороны параллельны. На рисунке параллельны стороны ВС и AD, они проходят по вертикальным линиям сетки, значит они являются основаниями трапеции. Площадь трапеции равна полусумме оснований, умноженной на высоту (обозначим её - h). Длину оснований определяем простым подсчётом клеточек на рисунке. ВС = 2, AD = 4. Как определить h? Вспомним, что высота трапеции это расстояние между параллельными прямыми, на которых лежат основания. Обычно, для определения этого расстояния, нужно из какой-либо вершины трапеции опустить перпендикуляр на противолежащую параллельную прямую, но здесь у нас такие перпендикуляры уже есть - это горизонтальные линии сетки. Возьмем, например, линию, на которой находятся точки А и С, на ней укладывается ровно 4 клеточки. Следовательно, h = 4. Подставляем значения в формулу:
S = BC + AD2 h = (2 + 4)2 4= 12.
II решение предполагает, что я знаю самые простые формулы площади: площадь прямоугольника и площадь прямоугольного треугольника.

Провожу дополнительную линию AC, которая "разрезает" нашу трапецию на два прямоугольных треугольника. Первый с катетами AC = 4 и BC = 2, его площадь S1 = 4x2/2 = 4. Второй с катетами AC = 4 и AD = 4, его площадь S2 = 4x4/2 = 8. Площадь трапеции равна сумме площадей треугольников ACB и DAC.
S = S1 + S2 = 4 + 8 = 12.
III решение требует тех же знаний, что и второе решение.
Только теперь я буду не "разрезать" нашу трапецию на части, а "вырезать" её из прямоугольника, стороны которого проходят по линиям сетки через вершины заданной трапеции.

Провожу горизонтальные линии через вершины В и D, продолжаем вертикальные линии AD и ВС до пересечения с горизонтальными. Точки пересечения обозначаю точками E и F. Получил прямоугольник DEBF со сторонами DE = 6 и DF = 4, его площадь 6x4 = 24. Чтобы получить искомую площадь трапеции, нужно из площади этого прямоугольника вычесть площади (зелёных) треугольников AEB и DFC.
SAEB = AE·EB/2 = 2·4/2 = 4 и SDFC = DF·FC/2 = 4·4/2 = 8
Следовательно, площадь трапеции равна
S = 24 − 4 − 8 = 12.
И, наконец, еще одно IV решение пригодится, если я не знаю формул из предыдущих решений, но знаком лишь с одной формулой, которую подарил нам австрийский математик Георг Александр Пик (1859 - 1942).


ГЛАВА 2. ФОРМУЛА ПИКА


Георга, который был одарённым ребёнком, обучал отец, возглавлявший частный институт. В 16 лет Георг закончил школу и поступил в Венский университет. В 20 лет получил право преподавать физику и математику. Шестнадцатого апреля 1880 года Пик защитил докторскую диссертацию В Немецком университете в Праге в 1888 году Пик получил место экстраординарного профессора математики, затем в 1892-м стал ординарным профессором. В 1900 -- 1901 годах занимал пост декана философского факультета.
В 1910 году Георг Пик был в комитете, созданном Немецким университетом Праги для рассмотрения вопроса о принятии Альберта Эйнштейна профессором в университет. Пик и физик Антон Лампа были главными инициаторами этого назначения, и благодаря их усилиям Эйнштейн, с которым Пик впоследствии сдружился, в 1911 году возглавил кафедру теоретической физики в Немецком университете в Праге.
Пик и Эйнштейн не только имели общие научные интересы, но и страстно увлекались музыкой. Пик, игравший в квартете, который состоял из университетских профессоров, ввёл Эйнштейна в научное и музыкальное общества Праги. Широкую известность получила открытая им в 1899 году теорема Пика для расчёта площади многоугольника. В Германии эта теорема включена в школьные учебники.
Я считаю настоящей находкой моего исследования формулу Пика!
Сюжет будет разворачиваться на обычном листке клетчатой бумаги.[2] Линии, идущие по сторонам клеток, образуют сетку, а вершины клеток - узлы этой сетки. Нарисуем на листе многоугольник с вершинами в узлах
Рис. 1 (рис. 1) и найдем его площадь.
Оказывается, площади многоугольников, вершины которых расположены в узлах сетки, можно вычислять гораздо проще: есть формула, связывающая их площадь с количеством узлов, лежащих внутри и на границе многоугольника. Эта замечательная и простая формула называется формулой Пика.

Рис. 2 Пусть АВСD - прямоугольник с вершинами в узлах и сторонами, идущими по линиям сетки (рис. 2).
Обозначим через В количество узлов, лежащих внутри прямоугольника, а через Г - количество узлов на его границе. Сместим сетку на полклетки вправо и полклетки вниз. Тогда территорию прямоугольника можно между узлами следующим образом: каждый из В узлов целую клетку смещённой сетки, а каждый из Г узлов - 4 граничных не угловых узла - половину клетки, а каждая из угловых точек - четверть клетки. Поэтому площадь прямоугольника S равна
S = В + + 4 · = В + - 1 .
Итак, для прямоугольников с вершинами в узлах и сторонами, идущими по линиям сетки, мы установили формулу S = В + - 1 .
Оказывается, эта формула верна не только для прямоугольников, но и для произвольных многоугольников с вершинами в узлах сетки!
Это и есть формула Пика.
Использую формулу Пика в нашем IV решении

В = 7, Г = 12. По формуле Пика: S = В + - 1 .
S = 7 + 12/2 - 1 = 12.
Помогает нам формула Пика и для решения геометрических задач с практическим содержанием.
Задача. Найдите площадь лесного массива (в м²), изображённого на плане с квадратной сеткой 1 x 1(см) в масштабе 1 см - 200 м
Решение. Найдём S площадь четырёхугольника, изображённого на клетчатой бумаге по формуле Пика: S = В + - 1
В = 8, Г = 7. S = 8 + 7/2 - 1 = 10,5 (см²)
1 см² - 200² м²; S = 40000 · 10,5 = 420 000 (м²)
Ответ: 420 000 м²















ГЛАВА 3. СИММЕТРИЯ ФИГУР
В древности слово употреблялось в значении , . Действительно, в переводе с греческого это слово означает .
Посмотрим на кленовый лист, снежинку, бабочку. Их объединяет то, что они симметричны. У них есть ось симметрии. Если симметричную фигуру сложить вдоль оси симметрии, то её части совпадут.
У геометрических фигур может быть одна или несколько осей симметрии. В тетради в клетку легко построить симметричные фигуры.
Если провести прямую через середины сторон ВЕ и АD, то квадрат разобьется на два равных прямоугольника. Эти прямоугольники симметричны относительно прямой МН.

рис. 2.4.
Глава 3. Вычисление площадей многоугольников
Площадь многоугольника на клетчатой бумаге измеряется квадратными единицами: мм2, см2. Но в качестве единицы площади можно рассматривать и клетку.
Нарисую многоугольник с вершинами в узлах клеток и найду его площадь. Это можно сделать разными способами.
Буду пользоваться следующими правилами:
Многоугольник всегда можно перекроить в любой другой многоугольник с такой же площадью. Такие многоугольники называются равновеликими.
Если два многоугольника состоят из одинаковых частей, то они
называются равносоставленными.
Плоские равносоставленные многоугольники также являются
равновеликими.
Разделю многоугольник на части и составлю из них равновеликий многоугольник с вершинами в узлах клеток, стороны которого проходят по линиям. В полученном многоугольнике легко посчитать количество клеток, то есть площадь многоугольника.





рис.3.1. Нахождение площади многоугольника 1 способом

Этот способ вычисления площади легко применим для многоугольников несложной конфигурации. А если он выглядит более причудливо? Оказывается, площади многоугольников, вершины которых расположены в узлах клетки, можно вычислить гораздо проще: есть формула, связывающая их площадь с количеством узлов, лежащих внутри и на границе многоугольника.













ГЛАВА 4. ИГРЫ С ПЕНТАМИНО
Фигуры домино, тримино, тетрамино, пентамино составляют из двух, трёх, четырёх, пяти квадратов так, чтобы любой квадрат имел общую сторону хотя бы с одним квадратом. Из двух одинаковых квадратов можно составить только одну фигуру-домино. (рис. 5.1.)
Фигуры тримино можно получить из единственной фигуры домино, приставляя к ней различными способами ещё один квадрат. Получится только две фигуры тримино. (рис. 5.2.)



рис. 5.1. Домино Рис. 5.2. Тримино

На рисунке изображены виды пентамино:








рис. 5.3. Пентамино
Самая распространённая задача о пентамино - сложить из всех фигурок, без перекрытий и зазоров, прямоугольник. Но я решила попробовать что-то по интереснее. Из элементов пентамино можно складывать различные фигуры, симметричные узоры, буква алфавита, цифры:


















рис. 5.5. Петушок











рис. 5.6. Бабочка

ЗАКЛЮЧЕНИЕ
В процессе работы над данной темой я изучил учебное издание Смирновой И.М., тематические статьи из газеты ИД . Я думаю, что задачи на клетчатой плоскости не являются несерьёзными или бесполезными, они не так уж и далеки от серьёзных математических задач. Каждая задача на клетчатой бумаге требует применения геометрических знаний в необычной ситуации, что позволяет проверить качество освоения геометрического материала, готовность ученика использовать полученные знания и умения для решения нестандартных и исследовательских задач.
Работа по данной теме позволила мне преодолеть психологический барьер и поверить в свои силы.
В результате работы я прорешал немало задач, расширил свои знания о решении задач на клетчатой бумаге, определил для себя классификацию исследуемых задач, убедился в их многообразии.
И я думаю, что решение этих задач рассмотренными способами превратится в интересное занятие, итогом, которого будет не только прекрасное настроение.












СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
Жарковская Н. М., Рисс Е. А. Геометрия клетчатой бумаги. Формула Пика // Математика, 2022, № 17, с. 24-25.
Математика - газета ИД , № 23/2020г.
Погорелов А.В. Геометрия: учебник для 7-9кл.общеобразовательных учреждений.- М.: Просвещение, 2020.
Смирнова И.М., Смирнов В.А. Геометрия на клетчатой бумаге. - М.: Чистые пруды, 2019.
Интернет - ресурсы:
Открытый банк задач ЕГЭ по математике: www.mathege.ru